Номер №33, ГДЗ по геометрии за 10, 11 класс к учебнику Атанасяна
Глава I. Параллельность прямых и плоскостей. §1. Параллельность прямых, прямой и плоскости. Номер №33
Докажите, что если три плоскости, не проходящие через одну прямую, попарно пересекаются, то прямые, по которым они пересекаются, либо параллельны, либо имеют общую точку.
Дано: ,, не проходят через одну прямую и попарно пересекаются
=k,=m,=n
Доказать: либо kmn, либо kmn=Q, где Q - одна общая точка
Доказательство:
1) Пусть km. Докажем, что nk.
Допустим, что nk, эти прямые пересекаются и имеют одну общую точку nk=Q.
Три плоскости имеют одну общую точку.
Но это противоречит условию, по которому km.
Следовательно, наше допущение о том, что nk - неверно.
Значит, если km, то и nk. Т.е., все три прямые параллельны kmn.
2) Пусть теперь km, эти прямые пересекаются и
имеют одну общую точку km=Q.
Докажем, что nk=Q - также пересекаются в этой точке.
Допустим, что nk. Тогда по доказанному выше, km, а это противоречит условию.
Следовательно nk.
Допустим, что nk=M, где MQ. Тогда
Три плоскости имеют две общие точки Q и M. Следовательно, три плоскости проходят через общую прямую MQ. Но это противоречит условию.
Предположение MQ неверно. Следовательно, M=Q - точки совпадают.
kmn=Q - пересекаются в одной точке.
3) Таким образом, либо kmn, либо kmn=Q.
Что и требовалось доказать.
